Vetenskapstråden | Sida 48 | Allt mellan himmel och jord | Forum

är nog smidigast om än riktigt segt att göra för hand …
glöm inte bort att du kan komma till en situation liknande följande:

int( f(x) ) = g(x) – int( f(x) )
då finns ”standard-tricket” att:
int( f(x) ) = g(x) – int( f(x) ) < ==>
2*int( f(x) ) = g(x) < ==>
int( f(x) ) = 1/2*g(x)

där g är en godtycklig funktion av x
——————————————-
okej då … så skiss till lösning …

§( x^2 e^(6x) sin(x) ) = – x^2 e^(6x) cos x + §( 2xe^(6x) cos x + x^2 e^(6x)/6 cos x )
detta efter att ha partialintegrerat en gång(deriverat x^2 e^(6x) och integrerat sin x)
en till partialintegration ger:
= -x^2e^(6x) cos x + 2xe^(6x) sin x – §( 2e^(6x) sin x + 2x e^(6x)/6 sin x) +x^2e^(6x)/6 – §( 2x e^(6x)/6 sin x + x^2 e^(6x)/36 sin x)

nu hamnar vi i den situation jag beskrev ovan och vi kan flytta över en av integralerna från hl till vl eftersom det är samma integral sånär som på en konstant ==>

§( x^2 e^(6x) sin x ) = 36/35 * ( -x^2e^(6x) cos x + 2xe^(6x) sin x – §( 2e^(6x) sin x) +x^2e^(6x)/6 – §( 2/3 x e^(6x) sin x) )

då återstår bara att evaluera integralerna:
§( 2e^(6x) sin x) = [partialintegration 2ggr] = -(2/37)*exp(6*x)*(cos(x)-6*sin(x))
samt
§( 2/3 x e^(6x) sin x) = [några gångers partialintegration] = (2/4107)*exp(6*x)*(37*cos(x)*x-12*cos(x)-222*sin(x)*x+35*sin(x))

om jag inte räknat allt för fel så blir svaret att:
(-(1/37)*x^2+(24/1369)*x-214/50653)*exp(6*x)*cos(x)+((6/37)*x^2-(70/1369)*x+396/50653)*exp(6*x)*sin(x)

den homogena lösningen bör du klara ganska enkelt, dvs lösningen till y’ + y = 0
karakteristisk ekvation r + 1 = 0

sedan har vi partikulärlösnigen, vi ansätter denna med polynom av samma grad som x^2 samt inkluderar linjära termer av sinus och cosinus,
pröva således med: yp = ax^2 + bx +c + d sinx + e cosx
med yp’ = 2ax + b + d cosx – e sinx
där, a,b,c,d,e är konstanter som du måste bestämma genom att identifiera termerna i den givna ekvationen…

dvs:
y’+y = x^2 + sinx + cosx ==>
2ax + b + d cosx – e sinx + ax^2 + bx +c + d sinx + e cosx = x^2 + sinx + cosx

vad måste a,b,c,d,e vara för att likhet ska gälla för alla x?

nu har du en homogen lösning och en partikulär lösning, den totala lösningen blir summan av dessa.

Lycka till

”…när x inte är fast definierat…” vad menar du?

ni bör veta att Pr(X > 8) = 1 – Pr(X < = 8) om X € Bi(12,0.7) så gäller att :
Pr(X < 8) = Sum[ {12 över 0.7}*(0.7^k)*(1-0.7)^(12-k) , k=0..8 ] Sedan finns det en bra regel att minnas: om np ochn(1 − p) är större än 5 så kan man approximera fördelningen med en normalfördelning, N(np, np(1-p)) just siffran 5 kan variera lite i olika litteratur ... men men ... lycka till

förutsatt att kopparna har ungefär samma massa M(kg) och samma specifika värmekapacitet E(kj/kg * K) så innehåller kopparna med 90 gradigt kaffe energing:
Wvarm = M*E*90*4
Wkall = M*E*10*2

Wvarm + Wkvall = M*E*90*4+ M*E*10*2 = M*E(90*4+10*2)
men det gäller också att Wvarm+Wkall = 6*M*E*T
där T är temperaturen vi söker, alltså:
6*M*E*T = M*E(90*4+10*2) < ==>
T = M*E(90*4+10*2)/(M*E*6) = (360+20)/6 = 63.33

Har du ingen mer information? Med den data du givit kan man endast anta att modellen är orimlig då kaffet har en temperatur under 15 grader eftersom det är omgivningens temperatur.

Då ger modell A:
15 = 92 – 7x
7x = 92-15 = 77
x = 77/7 = 11

modell B ger:
15 = 92 – 0.93^x
0.93^x = 92-15 = 77
ln(0.93^x) = x*ln(0.93) = ln(77)
x = ln(77) / ln(0.93) = -59.856
vilket är orimligt, varför blir det så? Jo, funktionen 0.93^x går mot 0 då x växer, alltså kommer temperaturen enligt modell B inte ens stämma i början då x=0 är startpunkten för då ger modell B att y = 92 – 0.93^0 = 92 – 1 = 91

Ett annat förslag på modell skulle kunna vara:
y(x) = 15+77 * e^-x

hur bra stämmer den?
den bygger på följande differentialekvation:
y'(x) = – ( y(x)-15 )
känner du igen den?